Родился в Волгодонске. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и ассистентуру-стажировку консерватории (класс профессора Эдуарда Грача и доцента Татьяны Беркуль), затем совершенствовался под руководством Огюстена Дюмэ в Музыкальной капелле королевы Елизаветы в Брюсселе и Анны Чумаченко в Академии в Кронберге. Участвовал в мастер-классах Шломо Минца и Иды Гендель в рамках международного скрипичного семинара Keshet Eilon в Израиле.

Победитель и лауреат международных конкурсов, среди которых конкурсы имени Йозефа Иоахима в Ганновере (I премия, 2006), имени Давида Ойстраха в Москве (I премия, 2007), имени П. И. Чайковского в Москве (II премия и пять спецпризов, 2007), имени королевы Елизаветы в Брюсселе (V премия, 2009). В 2010 году музыкант завоевал первые премии на конкурсах имени Фрица Крейслера в Вене и имени Яна Сибелиуса в Хельсинки, III премию на конкурсе в Монреале, а в 2013 году стал обладателем Гран-при конкурса Monte Carlo Violin Masters в Монако.

В 2009 году отмечен наградой «Скрипач года» Международного фонда Майи Плисецкой и Родиона Щедрина (США), в 2011 году — премией Virtuoso итальянской Академии струнных инструментов и Общества Антонио Страдивари (Кремона), медалью Яна Сибелиуса от Фонда Сибелиуса в Финляндии. В 2018 году удостоен почётного звания «Заслуженный артист России».

Сотрудничал с известными оркестрами и выдающимися дирижёрами, в числе которых Валерий Гергиев, Владимир Федосеев, Юрий Симонов, Сакари Орамо, Василий Синайский и другие. Среди его партнёров по ансамблю были Родион Щедрин, Наталия Гутман, Юрий Башмет, Андраш Шифф, Николай Луганский, Борис Березовский, Вадим Репин, Александр Рудин, Давид Герингас, Александр Князев, Нарек Ахназарян, Максим Рысанов, Мао Фудзита, Огюстен Дюмэ, Ловро Погорелич и Денис Кожухин.

Принимал участие в фестивалях в Зальцбурге, Рейнгау, Дубровнике, «Декабрьских вечерах Святослава Рихтера», Бетховенском фестивале в Бонне, фестивалях «Звёзды белых ночей» и «Площадь искусств» в Санкт-Петербурге, фестивале Олега Кагана в Кройте, фестивалях Il Violino Magico в Италии, Crescendo Дениса Мацуева, Vivacello Бориса Андрианова, La Folle Journee в Нанте и многих других.

За последние сезоны артист дебютировал на сценах Карнеги-холла и Центра исполнительских искусств Ричарда Фишера в США, Сантори-холла в Токио и Центра исполнительских искусств в Сеуле, выступил с Симфоническим оркестром Барселоны и Национальным оркестром Каталонии, Венским камерным оркестром, Государственным симфоническим оркестром Стамбула, Симфоническим оркестром Тенерифе и Иерусалимским симфоническим оркестром.

В сезоне 2025/2026 с оркестром Финского радио под управлением Элим Чан музыкант представил мировую премьеру Скрипичного концерта Саули Зиновьева, созданного специально для Борисоглебского по заказу коллектива.

Особое внимание уделяет музыке современных авторов и композиторов ХХ века. Первый исполнитель ряда сочинений Родиона Щедрина, Александра Чайковского, Кузьмы Бодрова. Сотрудничает с известными студиями звукозаписи. В числе недавних релизов — запись Скрипичного концерта Изаи с Королевским филармоническим оркестром Льежа под управлением Жан-Жака Канторова, вошедшая в альбом A Tribute to Ysaÿe, удостоенный французской премии Diapason d’‎Or, и альбом Carnet de voyages (Aparté Music), получивший высокие оценки критики и пять звезд от журнала Classica.

Играет на инструменте работы австрийского мастера Мартина Швальба, изготовленном в 2024 году.

Государственный академический Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского (первоначально Большой симфонический оркестр Всесоюзного радио и Центрального телевидения) основан в 1930 году как первый симфонический оркестр СССР. Он не раз доказывал своё право называться одним из лучших оркестров мира — право, завоёванное историей, тщательной работой и интенсивной концертной деятельностью. 

Премьеры своих сочинений доверяли Георгий Свиридов, Николай Мясковский, Сергей Прокофьев, Арам Хачатурян, Дмитрий Шостакович, Борис Чайковский. 

Высокая репутация оркестра — результат плодотворного сотрудничества с дирижёрами Александром Орловым, Николаем Головановым, Александром Гауком, Геннадием Рождественским, в разные годы возглавлявшими коллектив, а также с такими мастерами, как Леопольд Стоковский, Герман Абендрот, Лорин Маазель, Курт Мазур, Евгений Мравинский, Карло Цекки. С 1974 года художественным руководителем коллектива является Владимир Федосеев, благодаря которому оркестр завоевал международную известность.

В летопись оркестра вписаны имена прославленных солистов прошлого, среди которых Святослав Рихтер и Давид Ойстрах, Сергей Лемешев и Елена Образцова, Ирина Архипова и Антонина Нежданова, Лучано Паваротти и многие другие. В числе современных исполнителей, с которыми оркестром были представлены знаковые программы, — Виктор Третьяков, Денис Мацуев, Юрий Башмет, Елизавета Леонская, Борис Березовский, Александр Князев. В своё время именно Владимир Федосеев и Большой симфонический оркестр открыли миру имена Максима Венгерова и Вадима Репина.

В 1993 году, в 100-летнюю годовщину со дня смерти Петра Ильича Чайковского, Большому симфоническому оркестру было присвоено имя великого композитора — за заслуги в области развития музыкальной культуры, выдающиеся интерпретации произведений Чайковского (за рубежом оркестр известен под названием Tchaikovsky Symphony Orchestra).

В перечне стран, где выступал Большой симфонический оркестр, отражена едва ли не вся карта мира. Преданные поклонники оркестра есть в Великобритании, Австрии, Германии, Чехии, Италии, Испании, Китае, Японии, Корее и других странах. Оркестр первым из русских оркестров выступил в легендарном Золотом зале венского Музикферайна. Но важнейшим направлением деятельности оркестра всегда были и остаются концерты в городах России — от Калининграда до Владивостока, от Мурманска до Сочи.

Оркестр ведёт активную просветительскую деятельность, организуя музыкальные вечера в музеях и вузах, проекты для детей, концерты, объединяющие музыку и слово. В Концертном зале имени П. И. Чайковского в течение многих лет проходит абонемент оркестра «Письма к тебе…», основанный на эпистолярном наследии композиторов. Героями цикла в разные годы становились Моцарт, Бетховен, Брамс, Шуман, Григ, Лист, Чайковский, Бородин, Римский-Корсаков, Мусоргский, Рахманинов, Прокофьев, Шостакович, Свиридов.

Записи оркестра, многие из которых стали историческими, выпущены фирмами Sony, Pony Canyon, JVC, Philips, Relief, Warner Classics & Jazz, «Мелодия».

В 2023 году Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского был удостоен премии BraVo в номинации «Оркестр года».  

В январе 2025 года по приглашению Владимира Федосеева главным дирижёром оркестра назначен Арсентий Ткаченко, который провёл с оркестром резонансные выступления в Москве, Новосибирске, Красноярске, Барнауле, Калининграде, Клину, Тегеране и Исфахане (Иран), Баку (Азербайджан) и других городах и странах.

В сезоне 2025/2026, отмечая своё 95-летие, оркестр проводит с Арсентием Ткаченко юбилейные концерты в Москве и Санкт-Петербурге. В программы ряда выступлений включены симфонические шедевры, исторические премьеры которых были осуществлены именно этим коллективом. В этом ряду Первая сюита из балета «Ромео и Джульетта» Прокофьева, Симфония № 15 Шостаковича, «Симфонические танцы» Рахманинова (первое исполнение в Советском Союзе) и Симфония № 20 Вайнберга, посвящённая Владимиру Федосееву и Большому симфоническому оркестру имени П. И. Чайковского.

Главный дирижёр Большого симфонического оркестра имени П. И. Чайковского. Заместитель художественного руководителя и дирижёр Национального филармонического оркестра России. Художественный руководитель и главный дирижёр Филармонического камерного оркестра Новосибирска. Постоянный приглашённый дирижёр Государственного камерного оркестра «Виртуозы Москвы». Лауреат III Всероссийского открытого конкурса молодых дирижёров симфонических оркестров имени И. А. Мусина (2012).

В репертуаре дирижёра — музыка различных стилей и эпох, но особое внимание Арсентий Ткаченко уделяет композиторам XIX–XX веков.

В разные годы был дирижёром Калужского молодёжного симфонического оркестра имени С. Т. Рихтера, Московского театра мюзикла, Московского государственного симфонического оркестра. В качестве приглашённого дирижёра выступал с Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии, Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия», Академическим симфоническим оркестром Санкт-Петербургской филармонии, Московским государственным академическим симфоническим оркестром, MÁV Szimfonikus Zenekar (Венгрия), Государственной академической хоровой капеллой России имени А. А. Юрлова и другими коллективами. Сотрудничал с известными солистами, в числе которых Владимир Спиваков, Александр Гиндин, Борис Березовский, Алексей Володин, Дмитрий Маслеев, Александр Князев, Константин Емельянов, Сергей Лейферкус, Полина Осетинская.